Question

函数f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

）的部分图象如图所示
（1）求f（x）的最小正周期及解析式；
（2）设g（x）=f（x）-cos2x，求函数g（x）在区间 R上的最大值和最小值及对应的x的集合．

Answer 1

分析：（1）由图可知A=1，

T

2

=

π

2

，从而可求ω；再由图象经过点（

π

6

，1），可求得φ；
（2）依题意g（x）=sin（2x+

π

6

）-cos2x，化简整理为g（x）=sin（2x-

π

6

），即可求得g（x）在区间 R上的最大值和最小值及对应的x的集合．

解答：解：（1）由图可知：

T

2

=

2π

3

-

π

6

=

π

2

，A=1，
∴T=π，
∴ω=

2π

T

=2，
∴f（x）=sin（2x+?）
又∵图象经过点(

π

6

，1)，
∴1=sin（2×

π

6

+φ），
∴

π

3

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴φ=

π

6

+2kπ，k∈Z，
又∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
∴解析式为f（x）=sin（2x+

π

6

）；
（2）g（x）=f（x）-cos2x
=sin（2x+

π

6

）-cos2x
=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x
=sin（2x-

π

6

）；
综上所述，g（x）的最大值为1，对应的x的集合{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z}，最小值为-1，对应的x的集合{x|x=kπ-

π

6

，k∈Z}．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的单调性与最值，属于中档题．