Question

10．某公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地（圆心O在道路上，AB为直径），现要在荒地的基础上改造出一处景观．在半圆上取一点C，道路上B点的右边取一点D，使OC垂直于CD，且OD的长不超过20米．在扇形区域AOC内种植花卉，三角形区域OCD内铺设草皮．已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元．
（1）设∠COD=x（单位：弧度），将总费用y表示为x的函数式，并指出x的取值范围；
（2）当x为何值时，总费用最低？并求出最低费用．

Answer 1

分析 （1）根据扇形面积公式和三角形面积公式写出函数y的解析式；
（2）利用导数判断函数的单调性，求出函数y的最小值以及对应x的值．

解答 解：（1）因为扇形AOC的半径为10 m，∠AOC=π-x（rad），
所以扇形AOC的面积为
${S_{扇AOC}}=\frac{{（π-x）•1{0^2}}}{2}=50（π-x）$，$0＜x≤\frac{π}{3}$；…（3分）
在Rt△COD中，OC=10，CD=10tanx，
所以△COD的面积为
S_△COD=$\frac{1}{2}$•OC•CD=50tanx；…（5分）
所以y=100S_△COD+200S_扇形AOC=5000（tanx+2π-2x），$0＜x≤\frac{π}{3}$；…（8分）
（注：没有x的范围，扣1分）
（2）设$f（x）=tanx+2π-2x，0＜x≤\frac{π}{3}$，
则$f（x）=\frac{sinx}{cosx}+2π-2x$，
$f'（x）=\frac{{{{cos}^2}x+{{sin}^2}x}}{{{{cos}^2}x}}-2=\frac{{1-2{{cos}^2}x}}{{{{cos}^2}x}}$，
令f'（x）=0，解得$x=\frac{π}{4}$，…（11分）
从而当$0＜x＜\frac{π}{4}$时，f'（x）＜0；
当$\frac{π}{4}＜x＜\frac{π}{3}$，f′（x）＞0；
因此f（x）在区间$（0，\frac{π}{4}）$上单调递减；在区间$（\frac{π}{4}，\frac{π}{3}）$上单调递增；
当$x=\frac{π}{4}$时，f（x）取得最小值，
且$f（\frac{π}{4}）=1+2π-\frac{π}{2}=1+\frac{3π}{2}$；…（14分）
所以y的最小值为（5000+7500π）元； …（15分）
答：当$x=\frac{π}{4}$时，改造景观的费用最低，最低费用为（5000+7500π）元．     …（16分）

点评 本题考查了函数模型的应用问题，也考查了利用导数求函数的单调性与最值问题，是综合性题目．