Question

设函数f（x）=|x+1|-|x-2|
（Ⅰ）解不等式f（x）≥2；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤|a-2|的解集为R，求实数a取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）利用绝对值的意义可得数轴上的

3

2

到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离正好等于2，从而求得不等式f（x）≥2的解集．
（Ⅱ）由题意可得|a-2|≥f_max（x），而由绝对值的意义可得f_max（x）=3，可得|a-2|≥3，由此求得不等式的解集．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=|x+1|-|x-2|表示数轴上的x对应点到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离，
而数轴上的

3

2

到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离正好等于2，
故不等式f（x）≥2的解集为{x|x≥

3

2

}．
（Ⅱ）若不等式f（x）≤|a-2|的解集为R，故|a-2|≥f_max（x），
而由绝对值的意义可得f_max（x）=3，∴|a-2|≥3，∴a-2≥3，或 a-2≤-3．
解得 a≥5，或 a≤-1，即实数a取值范围为{a|a≥5，或 a≤-1}．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于基础题．