Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=4，AA₁=5，P是棱CC₁上的任意一点，试问：当点P在哪个位置时，AP⊥平面A₁BD？

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：连接AC交BD于O，连接AC₁，先证明出BD⊥平面ACC₁，进而可推断出BD⊥AC₁，同理证明出AC₁⊥A₁B，最后根据线面垂直的判定定理证明出AC₁⊥平面A₁BD，即AP⊥平面A₁BD．

解答： 解：P与C₁重合时有AP⊥平面A₁BD，
证明如下，
连接AC交BD于O，连接AC₁，
∵AB=BC，四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∵CC₁⊥面ABCD，BD?面ABCD，
∴CC₁⊥BD，
∵CC₁?平面ACC₁，AC?平面ACC₁，CC₁∩AC=C，
∴BD⊥平面ACC₁，
∵AC₁?平面ACC₁，
∴BD⊥AC₁，
同理AC₁⊥A₁B，
∴AC₁⊥平面A₁BD，
P与C₁重合，
∴AP⊥平面A₁BD．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理和线面垂直的性质．解题的关键找到与面垂直的直线．