Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知向量

m

=（cosA，cosB），

n

=（2c+b，a），且

m

⊥

n

．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 若a=4

3

，b+c=8，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由向量垂直求得等式（2c+b）•cosA+acosB=0，利用正弦定理把边转化成角的正弦整理求得cosA的值，继而求得A．
（Ⅱ）由余弦定理和已知条件求得bc，最后根据三角形面积公式求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

⊥

n

．
∴

m

•

n

=（2c+b）•cosA+acosB=0，
由正弦定理可得（2sinC+sinB）cosA+sinAcosB=0
整理得sinC+2sinCcosA=0
∵0＜C＜π，sinC＞0，
∴cosA=-

1

2

，A=

2π

3

（II）由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bccosA，
48=b²+c²-bc=（b+c）²-bc=64-bc，即bc=16
故S=

1

2

bcsinA=

1

2

×16×

3

2

=4

3

．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，平面向量的基本知识．利用正弦定理和余弦定理进行三角形边角问题的转化．