Question

16．已知定义在R上的函数f（x）对任意的实数a、b都有f（a+b）=f（a）+f（b），并且当x＞0时，f（x）＞0
（1）求证：f（x）是单调递增的奇函数；
（2）若f（1）=1，解关于m的不等式f（3m²-m-2）＜2．

Answer 1

分析 （1）先看奇偶性，用赋值法，先令实数a，b都为零，求得f（0），然后根据函数奇偶性和单调性的定义进行证明即可．
（2）根据函数的单调性将不等式进行转化即可．

解答 证明：（1）∵f（a+b）=f（a）+f（b），
∴令a=b=0，f（0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
令a=x，b=-x
∴f（x）+f（-x）=f（0）
∴f（x）为奇函数，
任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x＞0时，f（x）＞0，且x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）为R上的增函数，
即f（x）是单调递增的奇函数；
（2）若f（1）=1，则f（2）=f（1）+f（1）=1+1=2，
则关于m的不等式f（3m²-m-2）＜2等价为f（3m²-m-2）＜f（2），
∵f（x）单调递增；
∴3m²-m-2＜2，
即3m²-m-4＜0，
即-1＜m＜$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查抽象函数的奇偶性和单调性的判断及其应用，在解决过程中，赋值法是常用的方法，严格落实主条件转化问题是关键．