Question

4．已知a，b∈R⁺，且满足a+b=2，S=a²+b²+2$\sqrt{ab}$的最大值是$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 根据a+b=2可得到S=$-2（\sqrt{ab}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{2}$，而根据基本不等式可得到$0≤\sqrt{ab}≤1$，从而$\sqrt{ab}$可取$\frac{1}{2}$，这样便可得出S的最大值．

解答 解：S=$（a+b）^{2}-2ab+2\sqrt{ab}$=$4-2ab+2\sqrt{ab}=-2（\sqrt{ab}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{2}$；
∵a，b∈R⁺；
∴$2=a+b≥2\sqrt{ab}$；
$0≤\sqrt{ab}≤1$；
∴$\sqrt{ab}=\frac{1}{2}$时，S取最大值$\frac{9}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 考查完全平方公式及基本不等式的运用，配方法的运用，注意基本不等式应用的条件并判断“=”是否取到．