Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=-2S_nS_n-1（n≥2），则S₁₀₀=$\frac{1}{200}$．

Answer 1

分析 a_n=-2S_nS_n-1（n≥2），变形为$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n=-2S_nS_n-1（n≥2），
∴S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，
化为$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$为等差数列，首项为2，公差为2，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+2（n-1）=2n，
∴S_n=$\frac{1}{2n}$．
∴S₁₀₀=$\frac{1}{200}$．
故答案为：$\frac{1}{200}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．