Question

函数f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0，0＜?＜

π

2

）在一个周期内的图象如图所示，P（x₀，y₀）是图象的最髙点，Q是图象的最低点，M（3，0）是线段PQ与x轴的交点，且cos∠POM=

5

5

，|OP|=

5

．
（I）求出点P的坐标；
（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅲ）将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位后得到函数y=g（x）的图象，试求函数h（x）=f（x）•g（x）的单调递增区间．试求函数h（x）=f（x）•g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）由cos∠POM=

5

5

得sin∠POM=

2 5

5

，|OP|=

5

，利用三角函数的定义可求得点P的坐标；
（Ⅱ）由（I）得A=2，

1

4

T=3-1=2，可求得ω，再由

π

4

×1+φ=

π

2

可求得φ，从而可得函数f（x）的解析式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

），而g（x）=f（x-2）=2sin（

π

4

x-

π

4

），可求得h（x）=f（x）g（x）=-2cos

π

2

x，利用余弦函数的单调性可求得h（x）的单调增区间．

解答：解：（I）由cos∠POM=

5

5

得sin∠POM=

2 5

5

．
∵|OP|=

5

，

y0

|OP|

=

2 5

5

，

x0

|OP|

=

5

5

，
∴x₀=1，y₀=2，…（2分）
∴P（1，2），…（3分）
（II） 设函数f（x）的最小正周期为T，
由（I）得A=2，
∵M（3，0）为曲线上的一个零点，
由图知

1

4

T=3-1=2，T=8，
∴ω=

π

4

，…（4分）
又由图得：

π

4

×1+φ=

π

2

，
∴φ=

π

4

，
∴f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）…（6分）
（Ⅲ）g（x）=f（x-2）=2sin（

π

4

x-

π

4

），…（8分）
h（x）=f（x）g（x）=4sin（

π

4

x+

π

4

）sin（

π

4

x-

π

4

）=2（sin2

π

4

-cos2

π

4

）=-2cos

π

2

x…（10分）
由2kπ＜

π

2

x＜π+2kπ，k∈Z得4k＜x＜2+4k，k∈Z，
∴h（x）的单调增区间为（4k，2+4k）（k∈Z）．（12分）

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查倍角公式与余弦函数的单调性的综合应用，属于难题．