Question

9．已知函数h（x）=xlnx，$φ（x）=\frac{a}{x^2}（a＞0）$．
（Ⅰ）求$g（x）=\int_a^x{φ（t）dt}$；
（Ⅱ）设函数f（x）=h′（x）-g（x）-1，试确定f（x）的单调区间及最大最小值；
（Ⅲ）求证：对于任意的正整数n，均有${e^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}}}≥\frac{e^n}{n!}$成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用定积分的定义求解即可．
（Ⅱ）对函数f（x）进行求导，得到单调区间，在单调区间内得到最大值、最小值．
（Ⅲ）取a=1，由（Ⅱ）知，$f（x）=lnx-\frac{x-1}{x}≥f（1）=0$，利用新函数的性质得到加和式，从而得证．

解答 解：（Ⅰ）$g（x）=\int_a^x{φ（t）dt}=\int_a^x{\frac{a}{t^2}dt}=-a[\frac{1}{t}]|_a^x=-a（\frac{1}{x}-\frac{1}{a}）=\frac{x-a}{x}$； …（3分）
（Ⅱ）∵h'（x）=（xlnx）'=lnx+1（x＞0），
∴$f（x）=lnx+1-\frac{x-a}{x}-1=lnx-\frac{x-a}{x}（x＞0）$，$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{x-（x-a）}{x^2}=\frac{x-a}{x^2}（x＞0）$，
∵a＞0，∴函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增，
函数f（x）的最小值为f（a）=lna，函数f（x）无最大值； …（7分）
（Ⅲ）证明：取a=1，由（Ⅱ）知，$f（x）=lnx-\frac{x-1}{x}≥f（1）=0$，
∴$lnx≥\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}$，即 $\frac{1}{x}≥1-lnx=ln\frac{e}{x}$，亦即 ${e^{\frac{1}{x}}}≥\frac{e}{x}$，…（10分）
分别取 x=1，2，…，n得${e^{\frac{1}{1}}}≥\frac{e}{1}$，${e^{\frac{1}{2}}}≥\frac{e}{2}$，${e^{\frac{1}{3}}}≥\frac{e}{3}$，…，${e^{\frac{1}{n}}}≥\frac{e}{n}$，
将以上各式相乘，得：${e^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}}}≥\frac{e^n}{n!}$…（12分）

点评 本题主要考查了定积分的概念及利用导数求函数单调区间、最值的问题，属于难度较大的题型，在高考中常作压轴题出现．