Question

如图，正四棱锥P-ABCD中，PA=2，AB=1，M是侧棱PC的中点，O为底面正方形的中心．
（1）求证：PA∥平面BDM；
（2）求二面角P-BC-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）连接MO，通过M是正四棱锥P-ABCD侧棱PC的中点，O为底面正方形的中心，证明MO∥PA，然后证明PA∥平面BDM；
（2）取BC的中点E，连接PE，OE，说明二面角P-BC-A的平面角是∠PEO，利用题目条件，即可解三角形求出二面角P-BC-A的余弦值．

解答：解：（1）证明：连接MO，因为几何体是正四棱锥P-ABCD，M是侧棱PC的中点，O为底面正方形的中心．
所以MO∥PA，MO?平面BDM，PA?平面BDM，
∴PA∥平面BDM；

（2）取BC的中点E，连接PE，OE，因为几何体是正四棱锥P-ABCD，O为底面正方形的中心，
∴PE⊥BC，OE⊥BC，∴二面角P-BC-A的平面角是∠PEO，
∵PA=2，AB=1，∴OE=

1

2

，PE=

22-( 1 2 )2

=

15

2

，
cos∠PEO=

OE

PE

=

1 2

15 2

=

15

15

．
二面角P-BC-A的余弦值为：

15

15

．

点评：本题考查直线与平面的平行，二面角的求法，考查空间想象能力，作图能力以及计算能力，解题的关键是正确利用直线与平面平行的判定定理，准确找出二面角的平面角．