Question

【题目】已知函数.

（1）当时，若在区间上的最小值为，求的取值范围；

（2）若对任意， ，且恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由题意当a>0时，求导，令f′（x）=0，根据函数的单调性与导数的关系，分类讨论，求得f（x）的最小值，求得a的取值范围；
（2）设g（x）=f（x）+2x，求导，令当a=0时，，g（x）在（0，+∞）上单调递增，当a≠0时，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，根据二次函数的性质，即可求得a的取值范围．

试题解析：

（1）函数的定义域是.当时，

，

令，得，

所以或.

当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值是；

当时，在上的最小值是，不合题意；

当时，在上单调递减， 在上的最小值是，

不合题意，

综上：.

（2）设，即，

只要在上单调递增即可，而，

当时，，此时在上单调递增；

当时，只需在上恒成立，因为，只要，

则需要，对于函数，过定点，对称轴，只需

即，综上，.