【题目】如图,在直角梯形中,
点
是
边的中点,将
沿
折起,使平面
平面
,连接
得到如图
所示的几何体.
(1)求证; 平面
;
(2)若二面角
的平面角的正切值为
求二面角
的余弦值.
【答案】(I)详见解析;(II).
【解析】试题分析:(I)由平面与名垂直的性质定理可得⊥平面
. 由折叠前后均有
⊥
,
∩
,可得
⊥平面
;(Ⅱ) 由(Ⅰ)可得二面角
的平面角为∠
,又依题意
,可得
,依次求得
.,以下由两种解法:1.建立空间直角坐标系,求得相应点的坐标,求得平面
的法向量
和平面
的法向量
,则问题可求:2.利用相关的立体几何知识,证明二面角
的平面角为
,然后利用面几何知识求得二面角
的余弦值为
.
试题解析:
(Ⅰ) 因为平面⊥平面
,平面
平面
,
又⊥
,所以
⊥平面
.
因为平面
,所以
⊥
.
又因为折叠前后均有⊥
,
∩
,
所以⊥平面
.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知⊥平面
,所以二面角
的平面角为∠
.
又⊥平面
,
平面
,所以
⊥
.
依题意.
因为,所以
.
设,则
.
依题意△~△
,所以
,即
.
解得,故
.
法1:如图所示,建立空间直角坐标系,则
,
,
,
,
,
所以,
.
由(Ⅰ)知平面的法向量
.
设平面的法向量
由得
令,得
,
所以.
所以.
由图可知二面角的平面角为锐角,
所以二面角的余弦值为
.
法2 :因为⊥平面
,
过点作
//
交
于
,
则⊥平面
.
因为平面
,
所以⊥
.
过点作
⊥
于
,连接
,
所以⊥平面
,因此
⊥
.
所以二面角的平面角为
.
由平面几何知识求得
,
,
所以.
所以cos∠=
.
所以二面角的余弦值为
.
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【题目】已知O、A、B三地在同一水平面内,A地在O地正东方向2km处,B地在O地正北方向2km处,某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点,用测绘仪进行测绘,O地为一磁场,距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰,使测量结果不准确,则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( )
A.1-
B.
C.1-
D.
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【题目】已知函数 若f(x1)=f(x2),且x1<x2,关于下列命题:(1)f(x1)>f(﹣x2);(2)f(x2)>f(﹣x1);(3)f(x1)>f(﹣x1);(4)f(x2)>f(﹣x2).正确的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】假设关于某设备的使用年限x和支出的维修费用y(万元),有如下表的统计资料:
使用年限x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
维修费用y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
若由资料知y对x呈线性相关关系,试求:
(1)线性回归方程 .
(2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少.
(3)计算总偏差平方和、残差平方和及回归平方和.
(4)求 并说明模型的拟合效果.
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【题目】如图,已知海岛A到海岸公路BC的距离AB=50km,B,C间的距离为100km,从A到C必须先坐船到BC上的某一点D,航速为25km/h,再乘汽车到C,车速为50km/h,记∠BDA=θ
(1)试将由A到C所用的时间t表示为θ的函数t(θ);
(2)问θ为多少时,由A到C所用的时间t最少?
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【题目】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲(水生植物名)生一日,长三尺;莞(植物名,俗称水葱、席子草)生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:今有蒲生长1日,长为3尺;莞生长1日,长为1尺.蒲的生长逐日减半,莞的生长逐日增加1倍.若蒲、莞长度相等,则所需的时间约为( )(结果保留一位小数.参考数据:,
)( )
A. 1.3日 B. 1.5日 C. 2.6日 D. 2.8日
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