Question

【题目】已知数列的前项和为， ， ．等 差数列中， ，且公差．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）是否存在正整数，使得?．若存在，求出的最小值；若 不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）4．

【解析】试题分析：（Ⅰ）由可得， 两式相减得， ，数列是以为首项， 为公比的等比数列，从而可得数列的通项公式，利用等差数列的定义可得的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出，利用错位相减法可得数列的前项和，解不等式即可得结果.

试题解析：（Ⅰ） ， 当时， 两式相减得， ，又， 数列是以为首项， 为公比的等比数列， ，又， .

（Ⅱ）,令 ①

则 ②

①-②得： ， ，即， ， 的最小正整数为.

【易错点晴】本题主要考查等比数列与等差数列的通项、“错位相减法”求数列的和，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.