Question

【题目】已知椭圆的离心率为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成的三角形的面积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点和，若为坐标原点），求线段长度的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）．

【解析】

（1）椭圆的离心率和其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成的三角形的面积，得，，方程组求解，即可写出椭圆方程．

（2）直线与圆相切得，，再联立直线和椭圆，得到关于的一元二次方程，利用由韦达定理分别得到，，，，将表示为关于的函数，再求取值范围．

（1）椭圆的离心率为，

，即，①

又其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成的三角形的面积为．

，即，②

，③

由①②③得，，，

椭圆方程为．

（2）直线与圆相切，

，即，

直线与椭圆交于不同的两点和，设，，，，

联立，得，

△，

，，

，，

，，

又因为，

把上面 代入上式，得，

，又，

，∴，

令则，，所以，

线段长度的取值范围．