Question

18．设函数f（x）=-x³+mx²-m（m∈R）．
（1）若函数f（x）的单调增区间为（0，$\frac{2}{3}$），求m的值；
（2）设g（x）=|f（x）|，求函数g（x）在区间[0，m]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用函数单调性的性质，利用导数与函数单调性的关系列出不等式求解即可．
（2）先判断函数f（x）的单调性，求出函数f（x）最大值和最小值，再分类讨论，即可求出函数g（x）在区间[0，m]上的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=-x³+mx²-m，
∴f′（x）=-3x²+2mx=x（-3x+2m），
当f′（x）≥0时，即x（x-$\frac{2}{3}$m）≤0时，单调递增，
∵函数f（x）的单调增区间为（0，$\frac{2}{3}$），
∴m=1，
（2）由（1）知，f′（x）=-3x²+2mx=-x（x-$\frac{2}{3}$m），
当m＞0时，函数f（x）在（0，$\frac{2m}{3}$）上单调增，在（$\frac{2}{3}$m，m）上单调递减，
∵f（0）=-m＜0，f（m）=-m³+m³-m=-m＜0，
∴f（x）_min=-m，
f（x）_max=-（$\frac{2}{3}$m）³+2m×（$\frac{2}{3}$m）²-m=$\frac{16}{27}$m³-m，
当$\frac{16}{27}$m³-m＜0时，即0＜m＜$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴g（x）=|f（x）|，函数g（x）在区间[0，m]上的最大值为m，
当$\frac{16}{27}$m³-m≥0时，即m≥$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
若m≥$\frac{16}{27}$m³-m，即$\frac{3\sqrt{3}}{4}$≤m≤$\frac{3\sqrt{6}}{4}$时，
∴g（x）=|f（x）|，函数g（x）在区间[0，m]上的最大值为m，
若m＜$\frac{16}{27}$m³-m，即m≥$\frac{3\sqrt{6}}{4}$时，
∴g（x）=|f（x）|，函数g（x）在区间[0，m]上的最大值为$\frac{16}{27}$m³-m，
综上所述：当0＜m≤$\frac{3\sqrt{6}}{4}$时，函数g（x）在区间[0，m]上的最大值为m，
当m≥$\frac{3\sqrt{6}}{4}$时，函数g（x）在区间[0，m]上的最大值为$\frac{16}{27}$m³-m．

点评 本题考查学生对函数单调性性质应用，及利用导数求函数的单调区间的方法，函数的最值问题，解题中注意分类讨论思想的运用，属于中档题．