Question

4．求满足下列条件的曲线方程
（1）已知抛物线顶点是双曲线16x²-9y²=144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴，求该抛物线的方程．
（2）已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同焦点，直线y=$\sqrt{3}$x为C的一条渐近线，求双曲线C的方程．

Answer 1

分析 （1）由双曲线的顶点坐标为（-3，0），得抛物线的准线为x=-3，由此能求出抛物线的方程．
（2）求出椭圆的焦点坐标；据双曲线的系数满足c²=a²+b²；双曲线的渐近线的方程与系数的关系列出方程组，求出a，b，即可写出双曲线方程．

解答 解：（1）双曲线的顶点坐标为（-3，0），故抛物线的准线为x=-3，…（1分）
依题意设抛物线方程为：y²=2px，-$\frac{p}{2}$=-3，即p=6．…（3分）
所以抛物线的方程为：y²=12x．…（5分）
（2）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，求得两焦点为（-2，0），（2，0），（6分）
∴对于双曲线C：c=2．（7分）
又y=$\sqrt{3}$x为双曲线C的一条渐近线，
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，…（8分）
解得a=1，b=$\sqrt{3}$，（9分）
∴双曲线C的方程为：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．（10分）

点评 本题考查利用待定系数法求圆锥曲线的方程，其中椭圆中三系数的关系是：a²=b²+c²，双曲线中系数的关系是：c²=a²+b²，解题时要认真审题，注意椭圆、抛物线、双曲线的性质的合理运用，属于中档题．