Question

16．已知函数f（x）=|2x+1|．
（1）解不等式f（x）-f（x-1）≤1；
（2）若a＞0，求证：f（ax）-af（x）≤f（-$\frac{1}{2}$a）．

Answer 1

分析 （1）运用去绝对值的方法，分段讨论，求得不等式的解，求并集即可得到；
（2）求出不等式的左边，运用绝对值不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）f（x）-f（x-1）≤1，即为
|2x+1|-|2x-1|≤1，
由|2x+1|-|2x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-1-（1-2x）=-2，x≤-\frac{1}{2}}\\{2x+1-（1-2x）=4x，-\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}}\\{2x+1-（2x-1）=2，x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
可得当x≤-$\frac{1}{2}$时，-2＜1，解得x≤-$\frac{1}{2}$；
当-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$时，4x≤1，解得-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{4}$；
当x≥$\frac{1}{2}$时，2＜1不成立．
综上可得不等式的解集为{x|x≤$\frac{1}{4}$}．
（2）证明：a＞0，f（ax）-af（x）=|2ax+1|-a|2x+1|
=|2ax+1|-|2ax+a|≤|（2ax+1）-（2ax+a）|=|1-a|
=f（-$\frac{1}{2}$a）．
故原不等式成立．

点评 本题考查不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．