Question

6．（1）已知a，b都是正数，求证：a⁵+b⁵≥a²b³+a³b²．
（2）已知a＞0，证明：$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}≥（a+\frac{1}{a}）-（2-\sqrt{2}）$．

Answer 1

分析 （1）运用作差比较法，通过因式分解法，判断符号，即可得证；
（2）运用分析法证明．要证原不等式成立，通过两边平方，化简整理，再由基本不等式即可得证．

解答 （1）证明：由a，b＞0，可得
a⁵+b⁵-a²b³-a³b²=（a⁵-a²b³）+（b⁵-a³b²）
=a²（a³-b³）-b²（a³-b³）
=（a²-b²）（a³-b³）
=（a-b）²（a+b）（a²+ab+b²）≥0，
即有a⁵+b⁵≥a²b³+a³b²；
（2）要证$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}≥（a+\frac{1}{a}）-（2-\sqrt{2}）$，
只要证${a^2}+\frac{1}{a^2}≥{（a+\frac{1}{a}）^2}-2（2-\sqrt{2}）（a+\frac{1}{a}）+{（2-\sqrt{2}）^2}$，
即要证$0≥2-2（2-\sqrt{2}）（a+\frac{1}{a}）+（6-4\sqrt{2}）$，
即要证$2（2-\sqrt{2}）（a+\frac{1}{a}）≥8-4\sqrt{2}$，
即要证$a+\frac{1}{a}≥2$，
因为a＞0，所以$a+\frac{1}{a}≥2\sqrt{a•\frac{1}{a}}=2$，
所以$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}≥（a+\frac{1}{a}）-（2-\sqrt{2}）$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用作差比较法和分析法证明，考查推理能力，属于中档题．