Question

16．已知抛物线E：y²=2px（p＞0），焦点为F，若点A（2，m）（m＞0）在抛物线E上，且|AF|=3．
（Ⅰ）求抛物线E的方程和A点的坐标；
（Ⅱ）若过点（2，0）且平行于AF的直线l与抛物线E相交于M，N两点，求|MN|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用抛物线定义，求出p，即可求出求抛物线E的方程，A代入抛物线方程，即可求出A点的坐标；
（Ⅱ）求出直线l的方程，代入y²=4x整理得2x²-9x+8=0，利用弦长公式求出|MN|．

解答 解：（Ⅰ）由题意和抛物线定义得$2+\frac{p}{2}=3$，解得p=2，
故抛物线E的方程为y²=4x，…（3分）
因为点A在抛物线E上，所以m²=8，又m＞0，
故$m=2\sqrt{2}$，于是$A（2，2\sqrt{2}）$．…（6分）
（Ⅱ）由（I）知F（1，0），$A（2，2\sqrt{2}）$，故直线AF的斜率为$2\sqrt{2}$
由题意得直线l的方程为$y=2\sqrt{2}（x-2）$，…（8分）
把它代入y²=4x整理得2x²-9x+8=0，△=（-9）²-4×2×8＞0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{9}{2}，{x_1}{x_2}=4$…（10分）
故$|{MN}|=\sqrt{1+{k^2}}•|{{x_2}-{x_1}}|=\sqrt{1+{{（2\sqrt{2}）}^2}}•\sqrt{{{（\frac{9}{2}）}^2}-4×4}=\frac{{3\sqrt{17}}}{2}$…（12分）

点评 本题考查抛物线的方程与定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．