Question

8．某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图：
（Ⅰ）试估计该校学生在校月消费的平均数；
（Ⅱ）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x（元）和服务部可获得利润y（元），满足关系式：$y=\left\{\begin{array}{l}20，\;\;\;200≤x＜400\\ 40，\;\;400≤x＜800\\ 80，\;\;800≤x≤1200.\end{array}\right.$根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：
（ⅰ）对于任意一个学生，校服务部可获得的利润记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
（ⅱ）若校服务部计划每月预留月利润的$\frac{2}{9}$，用于资助在校月消费低于400元的学生，那么受资助的学生每人每月可获得多少元？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图能求出学生月消费的平均数．
（Ⅱ）（ⅰ）月消费值落入区间[200，400）、[400，800）、[800，1200]的频率分别为0.05、0.80、0.15，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（ii）先求出服务部的月利润，再求出受助学生人数，由此能求出每个受助学生每月可获得多少元．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图得学生月消费的平均数：
$\overline x=（\frac{1}{4000}×300+\frac{1}{1000}×500+\frac{3}{1000}×700+\frac{1}{2000}×900+\frac{1}{4000}×1100）×200$…（2分）
=680…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）月消费值落入区间[200，400）、[400，800）、[800，1200]的频率分别为0.05、0.80、0.15，
∴P（ξ=20）=0.05，
P（ξ=40）=0.80，
P（ξ=80）=0.15，
∴ξ的分布列为：

ξ	20	40	80
P	0.05	0.80	0.15

Eξ=20×0.05+40×0.80+80×0.15=45．
（ii）服务部的月利润为45×2000=90000（元），
受助学生人数为2000×0.05=100，
每个受助学生每月可获得90000×$\frac{2}{9}$÷100=200（元）．

点评 本小题主要考查频率分布直方图、平均数、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．