Question

19．证明不等式：$\frac{x}{\sqrt{y}}$+$\frac{y}{\sqrt{x}}$≥$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$（其中x，y皆为正数）．

Answer 1

分析 运用分析法证明，可在不等式的两边乘以$\sqrt{xy}$，作差，因式分解，讨论x，y的大小，即可得证．

解答 证明：因为x，y皆为正数，
所以原不等式等价于（$\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}$）$\sqrt{xy}$≥（$\sqrt{x}+\sqrt{y}$）$\sqrt{xy}$，
即x$\sqrt{x}$+y$\sqrt{y}$≥x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$，整理得（$\sqrt{x}-\sqrt{y}$）（x-y）≥0．
当x-y≥0时，x≥y，则$\sqrt{x}$≥$\sqrt{y}$，$\sqrt{x}$-$\sqrt{y}$≥0，所以上式成立；
当x-y≤0时，x≤y，则$\sqrt{x}$≤$\sqrt{y}$，$\sqrt{x}$-$\sqrt{y}$≤0，上式也成立．
综上知，原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用分析法证明，考查推理能力，属于中档题．