Question

11．数列{a_n}中，a₁=1，S_n表示前n项和，且S_n，S_n+1，2S₁成等差数列．
（1）计算S₁，S₂，S₃的值；
（2）根据以上结果猜测S_n的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）S_n，S_n+1，2S₁成等差数列，得到2S_n+1=S_n+S_n+1，可求S₁，S₂，S₃的值；
（2）由（1）猜想S_n的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明．

解答 解：（1）S₁=a₁=1，由已知有2S₂=S₁+2S₂，得S₂=$\frac{3}{2}$，
又2S₃=S₂+2S₂，得S₃=$\frac{7}{4}$
（2）由以上结果猜测：S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$  

①当n=1时，S₁=$\frac{2-1}{{2}^{1-1}}$=1，猜想成立      
②假设当n=k时猜想成立，则有S_k=$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k-1}}$
当n=k+1时，∵2S_k+1=S_k+2S₁，
∴S_k+1=$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k-1}}$+2=$\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{k-1}}$，
 ∴S=$\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{（k+1）-1}}$，
∴n=k+1时猜想成立，
故由①和②，可知猜想成立

点评 本题考查数列的性质和应用，第（1）问要注意递推公式的灵活运用，第二问要注意数学归纳法的证明技巧．