Question

5．在平面直角坐标系xOy中，已知经过原点O的直线l与圆C：x²+y²-4x-1=0交于A，B两点．
（Ⅰ）若直线m：ax-2y+a+2=0（a＞0）与圆C相切，切点为B，求直线l的方程；
（Ⅱ）若圆C与x轴的正半轴的交点为D，求△ABD面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由点到直线的距离公式求出a值，得到直线m的方程，再联立直线方程与圆的方程，求得B的坐标，进一步求得直线l的方程；
（Ⅱ）设A，B两点的纵坐标分别为y₁，y₂，由圆的方程求出D的坐标，设出AB所在直线方程，联立直线方程与圆的方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求出A，B两点纵坐标差的绝对值，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式求得最值．

解答 解：（Ⅰ）由圆C：x²+y²-4x-1=0，得（x-2）²+y²=5，
∴圆心坐标为（2，0），半径为$\sqrt{5}$．
直线m与圆C相切，得$\frac{|3a+2|}{\sqrt{{a}^{2}+4}}=\sqrt{5}$，
化简得：a²+3a-4=0，解得a=1或a=-4，
由于a＞0，故a=1，
∴直线m：x-2y+3=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+3=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-4x-1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$．
故直线m与圆相切于点B（1，2），得l：y=2x；
（Ⅱ）设A，B两点的纵坐标分别为y₁，y₂，
求得圆C与x轴正半轴交点D（$2+\sqrt{5}$，0），
则${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}（2+\sqrt{5}）（|{y}_{1}|+|{y}_{2}|）$=$\frac{1}{2}（2+\sqrt{5}）|{y}_{1}-{y}_{2}|$，
设AB方程为x=ty，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ty}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-4x-1=0}\end{array}\right.$，消元得（t²+1）y²-4ty-1=0，
$|{y}_{1}-{y}_{2}|=\frac{\sqrt{△}}{1+{t}^{2}}$=$\frac{\sqrt{20{t}^{2}+4}}{1+{t}^{2}}=2\sqrt{\frac{5{t}^{2}+1}{（{t}^{2}+1）^{2}}}$．
设m=5t²+1，
则$|{{y_1}-{y_2}}|=2\sqrt{\frac{25m}{{{m^2}+8m+16}}}=2\sqrt{\frac{25}{{m+8+\frac{16}{m}}}}$$≤\frac{5}{2}$，当且仅当m=4时取等号．
故△ABD面积最大值为$\frac{5}{4}（2+\sqrt{5}）$．

点评 本题考查圆的切线方程，考查了点到直线距离公式的应用，考查直线与圆位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．