Question

11．已知a＞0，b＞0，且a+b=1．
（Ⅰ）求ab的最大值；
（Ⅱ）求证：$（{a+\frac{1}{a}}）（{b+\frac{1}{b}}）≥\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a＞0，b＞0，运用均值不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$，可得ab的最小值；
（Ⅱ）将不等式的左边化为ab+$\frac{1}{ab}$+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$，运用均值不等式和对勾函数的单调性，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）由a＞0，b＞0，
1=a+b≥2$\sqrt{ab}$，
即有0＜ab≤$\frac{1}{4}$，
当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时，ab取得最大值$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得a，b＞0，且0＜ab≤$\frac{1}{4}$，
（a+$\frac{1}{a}$）（b+$\frac{1}{b}$）=ab+$\frac{1}{ab}$+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$
≥$\frac{1}{4}$+4+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=6+$\frac{1}{4}$=$\frac{25}{4}$，
当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时，等号成立．

点评 本题主要考查不等式的证明，注意运用均值不等式，对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．