Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F、T、M、P满足

OF

=(1，0)，

OT

=(-1，t)，

FM

=

MT

，

PM

⊥

FT

，

PT

∥

OF

．
（Ⅰ）当t变化时，求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点F的直线交曲线C于A，B两点，求证：直线TA、TF、TB的斜率依次成等差数列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），依据题意可推断出M是线段FT的中点，则M的坐标可推断出，进而利用

PM

⊥

FT

，求得x，y和t的关系式；同时利用

PT

∥

OF

求得t和y的另一关系式，最后消去t即可求得x和y的关系．
（Ⅱ）设直线TA，TF，TB的斜率依次为k₁，k，k₂，并记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设出直线AB的方程与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出y₁+y₂和2y₁y₂，进而表示出y₁²+y₂²，进而化简k₁+k₂得2k，判断出k₁，k，k₂成等差数列．

解答：解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），
由

FM

=

MT

，得点M是线段FT的中点，则M(0，

t

2

)，

PM

=(-x，

t

2

-y)，
又

FT

=

OT

-

OF

=(-2，t)，

PT

=(-1-x，t-y)，
由

PM

⊥

FT

，得2x+t(

t

2

-y)=0，①
由

PT

∥

OF

，得（-1-x）×0+（t-y）×1=0，∴t=y②
由①②消去t，得y²=4x即为所求点P的轨迹C的方程
（Ⅱ）证明：设直线TA，TF，TB的斜率依次为k₁，k，k₂，并记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则k=-

t

2

设直线AB方程为x=my+1

y2=4x x=my+1

，得y²-4my-4=0，∴

y1+y2=4m y1•y2=-4

，
∴y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=16m²+8，
∴k1+k2=

y1-t

x1+1

+

y2-t

x2+1

=

(y1-t)( y 2 2 4 +1)+(y2-t)( y 2 1 4 +1)

( y 2 1 4 +1)( y 2 2 4 +1)

=

4y1y2(y1+y2)-4t( y 2 1 + y 2 2 )+16(y1+y2)-32t

y 2 1 y 2 2 +4( y 2 1 + y 2 2 )+16

=-t=2k
∴k₁，k，k₂成等差数列

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了考生综合分析问题的能力和基本的计算能力．