Question

下面玩掷骰子放球的游戏：若掷出1点，甲盒中放入一球；若掷出2点或是3点，乙盒中放入一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放入一球．设掷n次后，甲、乙、丙盒内的球数分别为x，y，z.
(1)当n＝3时，求x、y、z成等差数列的概率；
(2)当n＝6时，求x、y、z成等比数列的概率；
(3)设掷4次后，甲盒和乙盒中球的个数差的绝对值为ξ，求Eξ.

Answer 1

(1)因为x＋y＋z＝3，且2y＝x＋z，
所以或，或.
当x＝0，y＝1，z＝2时，只投掷3次出现1次2点或3点、2次4点或5点或6点，即此时的概率为C·⁰·¹·²＝.
当x＝1，y＝1，z＝1时，只投掷3次出现1次1点、1次2点或是3点、1次4点或5点或6点，即此时的概率为C·C·¹·¹·¹＝.
当x＝2，y＝1，z＝0时，只投掷3次出现2次1点、1次2点或3点，即此时的概率为C·²·¹·⁰＝.
故当n＝3时，x，y，z成等差数列的概率为＋＋＝.
(2)当n＝6，且x，y，z成等比数列时，由x＋y＋z＝6，且y²＝xz，得x＝y＝z＝2.
此时概率为C·²·C·²·C·²＝.
(3)ξ的可能值为0,1,2,3,4.
P(ξ＝0)＝⁴＋C¹C¹C²＋C²C²＝；
P(ξ＝1)＝C¹³＋C¹³＋C²C¹C¹＋C¹C²C¹＝；
P(ξ＝2)＝C²²＋C²²＋C³¹＋C¹³＝；
P(ξ＝3)＝C³¹＋C³¹＝；
P(ξ＝4)＝C⁴＋C⁴＝；
Eξ＝×0＋×1＋×2＋×3＋×4＝

略