Question

对于函数f(x)若存在x0∈R，f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．

(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；

(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)图象上A，B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A，B两点关于直线y＝kx＋对称，求b的最小值．

 

Answer 1

（1）－1和3.

（2）(0,1)

（3）－

【解析】【解析】
(1)∵a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，

f(x)＝x⇒x2－2x－3＝0⇒x＝－1，x＝3，

∴函数f(x)的不动点为－1和3.

(2)即f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x有两个不等实根，转化为ax2＋bx＋b－1＝0有两个不等实根，需有判别式大于0恒成立，即Δ＝b2－4a(b－1)>0⇒Δ1＝(－4a)2－4×4a<0⇒0<a<1，

∴a的取值范围为(0,1)．

(3)设A(x1，x1)，B(x2，x2)，则x1＋x2＝－，

则A，B中点M的坐标为(，)，即M(－，－)．

∵A，B两点关于直线y＝kx＋对称，

且A，B在直线y＝x上，

∴k＝－1，A，B的中点M在直线y＝kx＋上．

∴－＝＋⇒b＝－＝－，

利用基本不等式可得当且仅当a＝时，b的最小值为－.