Question

已知在数列{a_n}中，a₁=3，（n+1）a_n-na_n+1=1，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n}是等差数列，并求a_n的通项公式；
（2）设数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，证明：T_n＜

1

6

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得得（2n+2）a_n+1=（n+1）（a_n+2+a_n），从而2a_n+1=a_n+2+a_n，由此能证明数列{a_n}是等差数列，并能求出a_n．
（2）由

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，利用裂项求和法能证明T_n＜

1

6

．

解答： （1）证明：∵在数列{a_n}中，a₁=3，（n+1）a_n-na_n+1=1，n∈N^*，
∴（n+2）a_n+1-（n+1）a_n+2=1，
两式相减，得（2n+2）a_n+1=（n+1）（a_n+2+a_n），即2a_n+1=a_n+2+a_n
所以数列{a_n}是等差数列．
由

a1=3 2a1-a2=1

，得a₂=5，∴d=a₂-a₁=5-3=2，
故a_n=3+（n-1）×2=2n+1．
（2）证明：∵

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，
∴T_n=

1

2

[（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+3

）]
=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)
=

1

6

-

1

4n+6

＜

1

6

．
∴T_n＜

1

6

．

点评：本题考查等差数列的证明和数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．