Question

已知数列{a_n}的首项大于0，公差d=1，且

1

a1a2

+

1

a2a3

=

2

3

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：b₁=-1，b₂=λ，b_n+1=

1-n

n

b_n+

(-1)n-1

an

，其中n≥2．
①求数列{b_n}的通项b_n；
②是否存在实数λ，使得数列{b_n}为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

1

a1a2

+

1

a2a3

=(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)=

1

a1

-

1

a3

=

1

a1

-

1

a1+2

=

2

3

，从而a12+2a1-3=0，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）①由已知得

nbn+1

(-1)n+1

=

(n-1)bn

(-1)n

+1，令c_n=

(n-1)bn

(-1)n

，则c₂=λ，c_n+1=c_n+1，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
②若数列{b_n}为等比数列，则有λ2=(-1)(-

1+λ

2

)，由此能求出存在实数λ=1，使得数列{b_n}为等比数列．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的首项大于0，公差d=1，且

1

a1a2

+

1

a2a3

=

2

3

，…（2分）
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

=(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)=

1

a1

-

1

a3

=

1

a1

-

1

a1+2

=

2

3

，…（3分）
整理得a12+2a1-3=0，解得a₁=1或a₁=-3（舍去）．…（4分）
因此数列{a_n}的通项a_n=n．…（5分）
（2）①∵bn+1=

1-n

n

b_n+

(-1)n-1

n

，
∴

nbn+1

(-1)n+1

=

(n-1)bn

(-1)n

+1．…（6分）
令c_n=

(n-1)bn

(-1)n

，则有c₂=λ，c_n+1=c_n+1，（n≥2）．
∴当n≥2时，c_n=c₂+（n-2）=n-2+λ，bn=

(n-2+λ)(-1)n

n-1

．…（8分）
∴数列{b_n}的通项b_n=

-1，n=1 (n-2+λ)(-1)n n-1 ，n≥2

．…（9分）
②∵b₁=-1，b₂=λ，b3=-

1+λ

2

，…（10分）
∴若数列{b_n}为等比数列，则有b22=b₁b₃，
即λ2=(-1)(-

1+λ

2

)，解得λ=1或λ=-

1

2

．…（11分）
当λ=-

1

2

时，bn=

(2n-5)(-1)n

2(n-1)

（n≥2），

bn+1

bn

不是常数，数列{b_n}不是等比数列，
当λ=1时，b₁=-1，bn=(-1)n，（n≥2），数列{b_n}为等比数列．
所以，存在实数λ=1，使得数列{b_n}为等比数列．…（14分）

点评：本题考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想．