Question

9．已知数列{a_n}满足${a_n}{a_{n+1}}={3^n}$，又a₁=1，数列c_n=a_n+a_n+1，若S_n为{c_n}的前n项和，则S₂₀₁₅=2×3¹⁰⁰⁸+3¹⁰⁰³-5．

Answer 1

分析 由${a_n}{a_{n+1}}={3^n}$，得${a}_{n+1}{a}_{n+2}={3}^{n+1}$，两式作商得：$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}=3$，由此可得数列{a_n}的奇数项和偶数项分别构成以3为公比的等比数列，分组后利用等比数列的前n项和求得S₂₀₁₅．

解答 解：由${a_n}{a_{n+1}}={3^n}$，得${a}_{n+1}{a}_{n+2}={3}^{n+1}$，
两式作商得：$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}=3$，
又a₁=1，∴a₂=3，
则数列{a_n}的奇数项和偶数项分别构成以3为公比的等比数列，
∴S₂₀₁₅=（a₁+a₂+…+a₂₀₁₅）+（a₂+a₃+…+a₂₀₁₆）
=2[（a₁+a₃+…+a₂₀₁₅）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₄）]+a₂₀₁₆-a₁
=2[$\frac{1×（1-{3}^{1008}）}{1-3}+\frac{3×（1-{3}^{1007}）}{1-3}$]+3¹⁰⁰³-1
=2×3¹⁰⁰⁸-4+3¹⁰⁰³-1
=2×3¹⁰⁰⁸+3¹⁰⁰³-5．
故答案为：2×3¹⁰⁰⁸+3¹⁰⁰³-5．

点评 本题考查数列递推式，考查了作商法求数列的通项公式，训练了数列的分组求和，考查等比数列的前n项和，是中档题．