Question

11．已知P（x，y）为平面上的动点且x≥0，若P到y轴的距离比到点（1，0）的距离小1．
（Ⅰ） 求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ） 设过点M（m，0）的直线交曲线C于A、B两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得：$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}-x=1$，化简得：y²=4x（x≥0）．求得P的轨迹方程．
（Ⅱ）分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x-m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线和抛物线联立方程求解．当斜率不存在时，m=0或m=4．成立．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}-x=1$，化简得：y²=4x（x≥0）．
∴点P的轨迹方程为y²=4x（x≥0）．．
（Ⅱ）①当斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x-m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得ky²-4y-4km=0，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{4}{k}，{y}_{1}{y}_{2}=-4m∴{x}_{1}{x}_{2}={m}^{2}$，
∵以线段AB为直径的圆恒过原点，∴OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
即m²-4m=0∴m=0或m=4．
②当斜率不存在时，m=0或m=4．
∴存在m=0或m=4，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．

点评 本题主要考查轨迹方程的求解和直线与抛物线的综合应用，属于中档题，早高考中经常涉及