Question

3．如图，△ABC与△BCD都是边长为2的正三角形，AD=$\sqrt{6}$，PA⊥平面ABC
（1）求证：PA∥平面BCD；
（2）若PA=2$\sqrt{3}$，求平面ABC与平面PBD所成的二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取CB的中点F，连接AF，DF，证明DF⊥平面ABC，利用PA⊥平面ABC，可得PA∥DF，即可证明PA∥平面BCD；
（2）延长AF与PD延长线交于点E，连CO，则EO是平面ABC与面PCD的交线，F是BAE的中点，作FO⊥BE，连接DO，则∠DOF为平面ABC与平面PBD所成二面角的平面角，即可得出结论．

解答 （1）证明：取CB的中点F，连接AF，DF，则AF=DF=$\sqrt{3}$，
∵AD=$\sqrt{6}$，
∴AF²+DF²=AD²，
∴AF⊥DF，
∵DF⊥BC，AF∩平面BC=F，
∴DF⊥平面ABC，
∵PA⊥平面ABC，
∴PA∥DF，
∵PA?平面BCD，DF?平面BCD，
∴PA∥平面BCD；
（2）解：延长AF与PD延长线交于点E，连CO，
则EO是平面ABC与面PCD的交线，F是BAE的中点，
作FO⊥BE，连接DO，则∠DOF为平面ABC与平面PBD所成二面角的平面角
在△DOF中，DF=$\sqrt{3}$，OF=1，DO=2
∴平面ABC与平面PBD所成二面角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查PA∥平面BCD，证求平面ABC与平面PBD所成的二面角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．