Question

6．已知圆M：（x+1）²+y²=16，定点N（1，0），P是圆M上任意一点，线段PN的垂直平分线l交PM于点Q，点Q的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与曲线C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）通过中垂线的性质、圆M的方程可得动点Q满足QM+QN=4，进而可得结论；
（2）联立直线l与椭圆方程，利用$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BD}$=0，结合韦达定理计算即得结论．

解答 （1）解：∵圆M方程为：（x+1）²+y²=16，
∴点M（-1，0），半径R=4，
∵线段PN的中垂线与线段PM相交于点Q，
∴QN=QP，∴QM+QN=QM+QP=PM，
∵点P是圆M上的动点，∴PM长为圆M的半径4，
∴动点Q满足QM+QN=4，
即点Q的轨迹C是以M、N为焦点，2a=4的椭圆，
∴a²=4，c=1，b²=a²-c²=3，
∴曲线C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
易知椭圆C的右顶点为D（2，0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：
（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，且△=3+4k²-m²，
而AD⊥BD，即$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BD}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（{x}_{1}-2，{y}_{1}）•（{x}_{2}-2，{y}_{2}）=0}\\{{y}_{1}=k{x}_{1}+m}\\{{y}_{2}=k{x}_{2}+m}\end{array}\right.$，
∴（1+k²）x₁x₂+（mk-2）（x₁+x₂）+m²+4=0，
整理得：7m²+16mk+4k²=0，
解得：m₁=-2k，m₂=-$\frac{2k}{7}$，且均满足3+4k²-m²＞0，
当m₁=-2k时，l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；
当m₂=-$\frac{2k}{7}$时，l的方程为$y=k（{x-\frac{2}{7}}）$，直线过定点$（{\frac{2}{7}，0}）$；
∴直线l过定点，定点坐标为$（{\frac{2}{7}，0}）$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．