Question

1．在△PAB中，已知点$A（{-\sqrt{6}，0}）$、B（$\sqrt{6}$，0），动点P满足|PA|=|PB|+4．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设M（-2，0），N（2，0），过点N作直线l垂直于AB，且l与直线MP交于点Q，设点Q关于x轴的对称点为R，求证：$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OR}$为定值；
（Ⅲ）在（II）的条件下，试问x轴上是否存在定点T，使得PN⊥QT．若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由题意可得，动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支除去其与x轴的交点．下面结合待定系数法求出双曲线方程即可；
（II）由题意，R（2，-4k），直线MP的斜率存在且不为0，设直线l的方程x=2．设MP的方程为y=k（x+2），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，求出P的坐标，即可得出结论；
再结合根系数的关系利用垂直条件即可求得所求T的坐标；
（III）由（II）知利用k表示出向量 $\overrightarrow{PN}$=（$\frac{8{k}^{2}}{1-2{k}^{2}}$，-$\frac{4k}{1-2{k}^{2}}$），$\overrightarrow{QT}$=（t-2，-4k），最后结合向量的数量积求出结果即得．

解答 解：（I）∵|PA|-|PB|=4＜|AB|，∴动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支除去其与x轴的交点．
设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）．
由已知，得$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{6}}\\{2a=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{6}}\\{a=2}\end{array}\right.$
∴b=$\sqrt{2}$．（3分）
∴动点P的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$（x＞2）．
（II）由题意，直线MP的斜率存在且不为0，设直线l的方程x=2．
设MP的方程为y=k（x+2）．
∵点Q是l与直线MP的交点，∴Q（2，4k）．
∴R（2，-4k），∴$\overrightarrow{OR}$=（2，-4k），
设P（x₀，y₀）
由y=k（x+2）代入双曲线方程，整理得（1-2k²）x²-8k²x-（8k²+4）=0．
则此方程必有两个不等实根x₁=-2，x₂=x₀＞2，∴1-2k²≠0，且-2x₀=-$\frac{8{k}^{2}+4}{1-2{k}^{2}}$
∴y₀=$\frac{4k}{1-2{k}^{2}}$
∴P（$\frac{4{k}^{2}+2}{1-2{k}^{2}}$，$\frac{4k}{1-2{k}^{2}}$）
∴$\overrightarrow{OP}$=（$\frac{4{k}^{2}+2}{1-2{k}^{2}}$，$\frac{4k}{1-2{k}^{2}}$）
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OR}$=$\frac{4{k}^{2}+2}{1-2{k}^{2}}$×2+$\frac{4k}{1-2{k}^{2}}$×（-4k）=4
（III）设T（t，0），要使得PN⊥QT，只需$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{QT}$=0
由N（2，0），$\overrightarrow{PN}$=（$\frac{8{k}^{2}}{1-2{k}^{2}}$，-$\frac{4k}{1-2{k}^{2}}$），$\overrightarrow{QT}$=（t-2，-4k），
∴$\overrightarrow{PN}$•$\overrightarrow{QT}$=$\frac{1}{1-2{k}^{2}}$[8k²（t-2）-16k²]=0（10分）
∵k≠0，∴t=4．
∴所求T的坐标为（4，0）

点评 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．