Question

17．已知函数f（x）=ax²+x-a，若f（x）有最大值$\frac{17}{8}$，
（1）求实数a的值；
（2）解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）有最大值，即可判断出a＜0，并且$\frac{-4{a}^{2}-1}{4a}=\frac{17}{8}$，解该方程即得a的值，a=$-\frac{1}{8}$，或a=-2；
（2）分别将a的这两个值带人不等式f（x）＞1，即可得到两个一元二次不等式，分别解这两个不等式即得原不等式的解．

解答 解：（1）若a=0，f（x）=x无最大值；
∴a≠0；
∴f（x）是二次函数，且a＜0；
∴f（x）的最大值为$\frac{-4{a}^{2}-1}{4a}=\frac{17}{8}$；
解得a=$-\frac{1}{8}$，或a=-2；
（2）①当a=$-\frac{1}{8}$时，f（x）=$-\frac{1}{8}{x}^{2}+x+\frac{1}{8}$；
∴解$-\frac{1}{8}{x}^{2}+x+\frac{1}{8}＞1$得，1＜x＜7；
∴f（x）＞1的解集为（1，7）；
②当a=-2时，f（x）=-2x²+x+2；
∴解-2x²+x+2＞1得，$-\frac{1}{2}＜x＜1$；
∴f（x）＞1的解集为（-$\frac{1}{2}$，1）．

点评 考查二次函数在定义域R上的最大值，以及计算二次函数最大值的公式，解一元二次不等式．