Question

5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． -2
• D． 4

Answer 1

分析 由题意可得2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心，可得a+b=1，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{a}$+$\frac{a+b}{b}$=2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$，再利用基本不等式求得它的最小值．

解答 解：圆x²+y²+2x-4y+1=0，即（x+1）²+（y-2）² =4，表示以（-1，2）为圆心、半径等于2的圆．
再根据弦长为4，可得2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心，故有-2a-2b+2=0，
求得a+b=1，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{a}$+$\frac{a+b}{b}$=2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥4，当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时，取等号，
故则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为4，
故选：D．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．