Question

已知函数f（x）是R上的偶函数，对?x∈R都有f(x+2)=

1

f(x)

，且当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），则f（-2013）+f（2015）的值等于（　　）

• A、-2
• B、-1
• C、1
• D、2

Answer 1

考点：函数的周期性,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：由f(x+2)=

1

f(x)

，可得函数的周期为4，然后根据函数的周期性和奇偶性，即可求解．

解答： 解：∵f(x+2)=

1

f(x)

，
∴f（x+4）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（-2013）=f（-503×4-1）=f（-1），
f（2015）=f（504×4-3）=f（-3）=f（1）
∵函数f（x）是R上的偶函数，且当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），
∴f（-1）=f（1）=log₂2=1，
f（-3）=f（1）=1，
∴f（-2013）+f（2015）=1+1=2，
故选：D．

点评：本题主要考查函数值的计算，利用条件求出函数的周期性是解决本题的关键，利用周期性和奇偶性之间的性质是解决函数类问题的基本关键．