Question

已知函数f（x）=x³－ax²，其中a为实常数.

        （1）设当x∈（0，1）时，函数y = f（x）图象上任一点P处的切线的斜率为k，若k≥－1，求a的取值范围；

   （2）当x∈［－1，1］时，求函数y=f（x）+a（x²－3x）的最大值.

 

 

Answer 1

解析：（1）

       由k≥－1，得3x²－2ax+1≥0，即a≤恒成立…………（2分）

       ∴a≤（3x+）_min………………………………………………………………（4分）

       ∵当x∈（0，1）时，3x+≥2=2，当且仅当x=时取等号.

       ∴（3x+）_min =.故a的取值范围是（－∞，].……………………（6分）

   （2）设g（x）=f（x）+a（x²－3x）=x³－3ax，x∈［－1，1］则

       g′(x)=3x²－3a=3（x²－a）.………………………………………………………（8分）

   ①当a≥1时，∴g′（x）≤0.从而g（x）在［－1，1］上是减函数.

       ∴g（x）的最大值为g（－1）=3a－1.…………………………………………（9分）

   ②当0<a<1时，g′（x）=3（x+）（x－）.

       由g′(x) >0得，x>或x<－：由g′(x)< 0得，－<x<.

       ∴g（x）在［－1，－］，［，1］上增函数，在［－，］上减函数.

       ∴g（x）的极大值为g（－）=2a.…………………………………………（10分）

       由g（－）－g（1）=2a+3a－1=（+1）?（2－1）知

       当2－1<0，即0≤a<时，g（－）<g（1）

       ∴g（x）=g（1）=1－3a．…………………………………………（11分）

       当2－1≥0，即<a<1时，g（－）≥g（1）

       ∴g（x）=g（－）=2a.………………………………………………（12分）

   ③当a≤0时，g′（x）≥0，从而g（x）在［－1，1］上是增函数.

       ∴g（x）=g（1）=1－3a………………………………………………………（13分）

       综上分析，g（x） ………………………………（14分）