Question

已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x.

(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围；

(3)若对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1<x2，且f(x1)＋2x1<f(x2)＋2x2恒成立，求a的取值范围．

 

Answer 1

（1）y＝－2.

（2）[1，＋∞)

（3）[0,8]

【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋ln x，f′(x)＝2x－3＋.

因为f′(1)＝0，f(1)＝－2.

所以切线方程是y＝－2.

(2)函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x的定义域是(0，＋∞)．

当a>0时，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋＝ (x>0)，

令f′(x)＝0，即f′(x)＝

＝＝0，

所以x＝或x＝.

当0<≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e]上单调递增，

所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2；

当1<<e时，f(x)在[1，e]上的最小值是f<f(1)＝－2，不合题意；

当≥e时，f(x)在(1，e)上单调递减，

所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(e)<f(1)＝－2，不合题意．

综上a的取值范围是[1，＋∞)．

(3)设g(x)＝f(x)＋2x，则g(x)＝ax2－ax＋ln x，

只要g(x)在(0，＋∞)上单调递增即可．

而g′(x)＝2ax－a＋＝，

当a＝0时，g′(x)＝>0，此时g(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当a≠0时，只需g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，因为x∈(0，＋∞)，只要2ax2－ax＋1≥0，则需要a>0，

对于函数y＝2ax2－ax＋1，过定点(0,1)，对称轴x＝>0，只需Δ＝a2－8a≤0，

即0<a≤8.

综上a的取值范围是[0,8]．