Question

在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为A（-1，0），B（1，0），平面内两点G，M同时满足一下条件：
①

GA

+

GB

+

GC

=

0

；②|

MA

|=|

MB

|=|

MC

|；③

GM

∥

AB

．
（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程；
（2）过点P（3，0）的直线l与（1）中的轨迹交于E，F两点，求

PE

•

PF

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据|

MA

|=|

MB

|，可得M在线段AB的中垂线上，从而可得M的坐标，利用

GA

+

GB

+

GC

=

0

可得重心坐标与C坐标之间的关系，利用|

MB

|=|

MC

|，即可得到定点C的轨迹方程；
（2）设直线l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出

PE

•

PF

，结合由△＞0，即可求得

PE

•

PF

的取值范围．

解答：解：（1）设C（x，y），G（x₀，y₀），M（x_m，y_m）
∵|

MA

|=|

MB

|，∴M在线段AB的中垂线上，
∵A（-1，0），B（1，0），∴x_m=0
∵

GM

∥

AB

，∴y_m=y₀…．（2分）
∵

GA

+

GB

+

GC

=

0

，∴（-1-x₀，-y₀）+（1-x₀，-y₀）+（x-x₀，y-y₀）=（0，0）
∴x0=

x

3

，y0=

y

3

，ym=

y

3

…．（4分）
∵|

MB

|=|

MC

|，∴

(1-0)2+(0- y 3 )2

=

(x-0)2+(y- y 3 )2

，即x2+

y2

3

=1(y≠0)
所以定点C的轨迹方程为x2+

y2

3

=1(y≠0)…．（6分）
（2）设直线l的方程为：y=k（x-3），E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）
由

y=k(x-3) 3x2+y2=3

消去y得：（k²+3）x²-6k²x+9k²-3=0①
∴x1+x2=

6k2

k2+3

，x1x2=

9k2-3

k2+3

…．（8分）
∴

PE

•

PF

=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(k2+1)[x1x2-3(x1+x2)+9]=24-

48

k2+3

…．（10分）
由△＞0得k2＜

3

8

，k≠0，∴3＜k2+3＜

27

8

∴

PE

•

PF

的取值范围为(8，

88

9

)…．（12分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查曲线的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确运用向量知识是关键．