Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-ax²-3a²x，其中a≥0
（1）若f′（0）=-3，求a的值；
（2）在（1）条件下，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（3）求函数f（x）在区间[0，2]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数的运算,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，利用f′（0）=-3，可求a的值；
（2）求出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率，可得切线方程；
（3）分类讨论，根据导数的正负，确定函数的单调性，即可求函数f（x）在区间[0，2]上的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³-ax²-3a²x，
∴f′（x）=x²-2ax-3a²，
∵f′（0）=-3，a≥0，
∴a=1；
（2）由（1）知，f（x）=

1

3

x³-x²-x，f′（x）=x²-2x-3，
∴f（1）=-

11

3

，f′（1）=-4，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为12x+3y-1=0；
（3）f′（x）=x²-2ax-3a²=（x-3a）（x+a）＞0
∵a＞0，∴x＜-a或x＞3a．
当a≤

2

3

时，函数在（0，3a）上单调递减，在（3a，2）上单调递增，
∴函数f（x）在区间[0，2]上的最小值为f（3a）=-9a³；
当a＞

2

3

时，函数在区间[0，2]上为减函数，∴函数f（x）在区间[0，2]上的最小值为f（2）=

8

3

-4a-6a²．

点评：本题考查导数的综合运用，考查导数的几何意义与最值，考查学生的计算能力，正确求导是关键．