Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是

 

（写出所有正确命题的序号）．
①

b

a

cosC＜1-

c

a

cosB；
②若acosA=ccosC，则△ABC一定为等腰三角形；
③若A是钝角△ABC中的最大角，则-1＜sinA+cosA＜1；
④若A=

π

3

，a=

3

，则b的最大值为2．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①由正弦定理可得

b

a

cosC+

c

a

cosB=

sin(B+C)

sinA

=1；
②由正弦定理可得sin2A=sin2C，从而2A=2C或2A+2C=π即A=C或A+C=

π

2

；
③A是钝角△ABC中的最大角，则A∈（

π

2

，π），sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

），从而可得

2

sin（A+

π

4

）∈（-1，1）；
④由正弦定理可得b=

asinB

sinA

≤2，当且仅当B=

π

2

时，b的最大值为2

解答： 解：①由正弦定理可得

b

a

cosC+

c

a

cosB=

sin(B+C)

sinA

=1，故不正确；
②∵acosA=ccosC，∴sinAcosA=sinCcosC即sin2A=sin2C，∵△ABC的内角A，B，C，∴2A=2C或2A+2C=π即A=C或A+C=

π

2

，故不正确；
③A是钝角△ABC中的最大角，则A∈（

π

2

，π），sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

），∵A+

π

4

∈（

3

4

π，

5π

4

），∴

2

sin（A+

π

4

）∈（-1，1），正确；
④∵A=

π

3

，a=

3

，∴由正弦定理可得b=

asinB

sinA

≤2，当且仅当B=

π

2

时，b的最大值为2，正确．
故答案为：③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．