Question

（Ⅰ）试证明柯西不等式：（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²（x，y，a，b∈R）
；（Ⅱ）已知x²+y²=2，且|x|≠|y|，求

1

(x+y)2

+

1

(x-y)2

的最小值．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：选作题,不等式

分析：（Ⅰ）利用作差法，即可证明；
（2）令u=x+y，v=x-y，则x=

u+v

2

，y=

u-v

2

，可得u²+v²=4，由柯西不等式得：(

1

u2

+

1

v2

)(u2+v2)≥4，即可求得结论．

解答： （Ⅰ）证明：左边=a²x²+a²y²+b²x²+b²y²，右边=a²x²+2abxy+b²y²，
左边-右边=a²y²+b²x²-2abxy=（ay-bx）²≥0，…（2分）
∴左边≥右边，命题得证．…（3分）
（Ⅱ）解：令u=x+y，v=x-y，则x=

u+v

2

，y=

u-v

2

，
∵x²+y²=2，∴（u+v）²+（u-v）²=8，∴u²+v²=4，…（4分）
由柯西不等式得：(

1

u2

+

1

v2

)(u2+v2)≥4，…（5分）
当且仅当u=v=

2

，即x=±

2

，y=0，或x=，0y=±

2

时…（6分）

1

(x+y)2

+

1

(x-y)2

的最小值是1．…（7分）

点评：本题考查柯西不等式，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．