Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠CAA₁=∠A₁AB=∠BAC=90°，AB=AA₁=1，AC=2．
（1）求证：A₁B⊥平面AB₁C；
（2）求直线B₁C与平面ACC₁A₁所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明A₁B⊥平面AB₁C，利用线面垂直的判定，证明A₁B垂直于平面AB₁C中两条相交直线即可；
（2）连接A₁C，证明∠B₁CA₁是直线B₁C与平面ACC₁A₁所成角，再求直线B₁C与平面ACC₁A₁所成角的正弦值．

解答： （1）证明：∵∠CAA₁=∠BAC=90°，
∴CA⊥AA₁，CA⊥AB，
∵A₁A∩AB=A，
∴CA⊥平面A₁B₁BA，
∵A₁B?平面A₁B₁BA，
∴CA⊥A₁B，
∵四边形A₁B₁BA为正方形，
∴A₁B⊥AB₁，
∵AC∩AB₁=A，
∴A₁B⊥平面AB₁C；
（2）解：连接A₁C，则B₁A₁⊥AA₁，B₁A₁⊥AC，
∵AA₁∩AC=A，
∴B₁A₁⊥平面ACC₁A₁，
∴∠B₁CA₁是直线B₁C与平面ACC₁A₁所成角．
在矩形ACC₁A₁中，AA₁=1，AC=2，∴A₁C=

5

，
∵A₁B₁=AB=1，
∴在Rt△A₁B₁C中，CB₁=

6

，
∴sin∠B₁CA₁=

6

6

．

点评：本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，体现了转化的数学思想，直线和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．