Question

在极坐标系中，求曲线ρ=2cosθ关于直线θ=

π

4

（ρ∈R）对称的曲线的极坐标方程．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：解法一：将极坐标系下的方程转化为直角坐标方程，进一步运算过后再将计算结果表示成极坐标方程．
解法二：在极坐标下，设曲线ρ=2cosθ上任意一点为（ρ′，θ′），其关于直线θ=

π

4

对称点为（ρ，θ），则

ρ′=ρ θ′=2kπ+ π 2 -θ

，再代入到ρ′=2cosθ′计算即可．

解答： 解法一：以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，
则曲线ρ=2cosθ的直角坐标方程为（x-1）²+y²=1，且圆心C为（1，0）．
直线θ=

π

4

的直角坐标方程为y=x，
因为圆心C（1，0）关于y=x的对称点为（0，1），
所以圆心C关于y=x的对称曲线为x²+（y-1）²=1，
所以曲线ρ=2cosθ关于直线θ=

π

4

（ρ∈R）对称的曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ．
解法二：设曲线ρ=2cosθ上任意一点为（ρ′，θ′），其关于直线θ=

π

4

对称点为（ρ，θ）
则

ρ′=ρ θ′=2kπ+ π 2 -θ

，
将（ρ′，θ′），代入（ρ′，θ′），得ρ=2cos(

π

2

-θ)，即ρ=2sinθ，
所以曲线ρ=2cosθ关于直线θ=

π

4

对称的曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ．

点评：和极坐标相关的题目可以直接用极坐标的知识处理，也可以根据极坐标和直角坐标的互化转化成直角坐标下的运算，学生可以根据自己的思维方式选择适合的解决方法．