Question

函数y=a^2x+2a^x-1（a＞0且a≠1）在[-1，1]上有最大值14．
（1）求a的值；
（2）若a，b，c为不等于1的正数，a^x=b^y=c^z，且

1

x

+

1

y

+

1

z

=0，求abc的值．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）令b=a^x构造二次函数y=b²+2b-1，然后根据a的不同范围（a＞1或0＜a＜1）确定b的范围后可解；
（2）令a^x=b^y=c^z=m，则x=log_am，y=log_bm，z=log_cm，代入

1

x

+

1

y

+

1

z

=0，利用对数运算法则可求；

解答： 解：（1）令t=a^x，则a^2x=t²，
∴y=t²+2t-1=（t+1）²-2，对称轴t=-1，
若0＜a＜1，则t=a^x是减函数，∴a^-1＞a，
∴0＜a＜t＜

1

a

，
∴y的图象都在对称轴t=-1的右边，开口向上 并且递增，
∴t=

1

a

时有最大值，
∴y=t²+2t-1=14，∴t²+2t-15=0，∴（t-3）（t+5）=0，
∵t＞0，∴t=

1

a

=3，a=

1

3

符合0＜a＜1；
若a＞1则t=a^x是增函数，此时0＜

1

a

＜t＜a，
y的图象仍在对称轴b=-1的右边，∴还是增函数，t=a时有最大值，
∴y=t²+2t-1=14，
t＞0，∴t=a=3，符合a＞1；
综上，a=

1

3

或a=3；
（2）令a^x=b^y=c^z=m，则x=log_am，y=log_bm，z=log_cm，
∴

1

x

+

1

y

+

1

z

=0，即为log_ma+log_mb+log_mc=0，
∴log_mabc=0，∴abc=1．

点评：本题主要考查指数函数单调性、对数运算法则及其应用，考查分类讨论思想．