Question

已知点A（1，2）在矩阵M=[

a a 1 b

]（a，b，∈R）对应的变换作用下得到点A′（6，7）．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量．

Answer 1

考点：特征值与特征向量的计算,几种特殊的矩阵变换

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（Ⅰ）利用待定系数法求矩阵M；
（Ⅱ）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，[

a a 1 b

]

1 2

=

6 7

，
∴

3a=6 1+2b=7

，∴

a=2 b=3

，
∴M=

2 2 1 3

；
（Ⅱ）M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-4），
令f（λ）=0，可求得特征值为λ₁=1，λ₂=4，
设λ₁=1对应的一个特征向量为

α

=

x y

，
则由λ₁

α

=M

α

，得-x-2y=0
可令x=2，则y=-1，
所以矩阵M的一个特征值λ₁=1对应的一个特征向量为

α

=

2 -1

，
同理可得矩阵M的一个特征值λ₂=4对应的一个特征向量为

β

=

1 1

．

点评：本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．