Question

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足

a

2 n+1

=4Sn+4n+1，n∈N*且a₂，a₅，a₁₄恰好是等比数列{b_n}的前三项．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{b_n}的前n项和为T_n，若对任意的n∈N^*，（T n+

3

2

）k≥3n-6恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由4Sn=an+12-4n-1得，当n≥2时，4Sn-1=an2-4(n-1)-1，两式相减并化简，得数列{a_n}为等差数列，再由题目中其他条件计算出{a_n}、{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）计算得到T_n=

3n+1-3

2

，再进行参数分离，将题中不等式转化为：k≥

2n-4

3n

对n∈N^*恒成立，令c_n=

2n-4

3n

，作差确定数列的单调性，求出数列的最小值即可．

解答： （Ⅰ）由题意，4Sn=an+12-4n-1，
当n≥2时，4Sn-1=an2-4(n-1)-1，
∴4a_n=4S_n-4S_n-1=an+12-an2-4，
an+12=an2+4an+4=(an+2)2，
又a_n＞0，∴a_n+1=a_n+2．
∴当n≥2时，{a_n}是公差d=2的等差数列．
又a₂，a₅，a₁₄构成等比数列，a52=a2•a14，
(a2+6)2=a2•(a2+24)，解得a₂=3，
由条件可知，4a1=a22-5=4，∴a₁=1，
又a₂-a₁=3-1=2，∴{a_n}是首项a₁=1，公差d=2的等差数列．数列{a_n} 的通项公式为a_n=2n-1，
则b₁=a₂=3，b₂=a₅=9，b₃=a₁₄=27，且{b_n}是等比数列，
∴数列{b_n}的通项公式为bn=3n．
（Ⅱ）Tn=

b1(1-qn)

1-q

=

3(1-3n)

1-3

=

3n+1-3

2

，
∴(

3n+1-3

2

+

3

2

)k≥3n-6对n∈N^*恒成立，
∴k≥

2n-4

3n

对n∈N^*恒成立，
令c_n=

2n-4

3n

，c_n-c_n-1=

2n-4

3n

-

2n-6

3n-1

=

-2(2n-7)

3n

，当n≤3时，c_n＞c_n-1，当n≥4时，c_n＜c_n-1，
∴(cn)max=c3=

2

27

，
∴k≥

2

27

．

点评：本题是对数列知识的考查，其中“迭代”思想是数列中最常见的思想，本题也不例外；在第二问的处理中，对于数列c_n=

2n-4

3n

，通过作差研究数列的单调性也是与数列相关的综合性题型常用的方法．