Question

设函数f（x）=|x-4|+|x-3|，
（Ⅰ）求f（x）的最小值m
（Ⅱ）当a+2b+3c=m（a，b，c∈R）时，求a²+b²+c²的最小值．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式,绝对值不等式的解法

专题：选作题,不等式

分析：（Ⅰ）法1：f（x）=|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）|=1，可得函数f（x）的最小值；法2：写出分段函数f(x)=

2x-7，x≥4 1，3≤x＜4 7-2x，x＜3

，可得函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）由柯西不等式（a²+b²+c²）（1²+2²+3²）≥（a+2b+3c）²=1

解答： 解：（Ⅰ）法1：f（x）=|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）|=1，
故函数f（x）的最小值为1．m=1．…（4分）
法2：f(x)=

2x-7，x≥4 1，3≤x＜4 7-2x，x＜3

．------------------（1分）
x≥4时，f（x）≥1；x＜3时，f（x）＞1，3≤x＜4时，f（x）=1，----------------（3分）
故函数f（x）的最小值为1．m=1．…（4分）
（Ⅱ）由柯西不等式（a²+b²+c²）（1²+2²+3²）≥（a+2b+3c）²=1----------（5分）
故a²+b²+c²≥

1

14

-…（6分）
当且仅当a=

1

14

，b=

1

7

，c=

3

14

时取等号…（7分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查二维形式的柯西不等式，属于中档题．